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Mathématiques: 385x4729= ? (la multiplication musulmane)

 
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abdelrahmane
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MessagePosté le: Jeu 23 Fév - 19:12 (2017)    Sujet du message: Mathématiques: 385x4729= ? (la multiplication musulmane) Répondre en citant

Mathématiques: 385x4729= ? (la multiplication musulmane)

Cette forme de multiplication est beaucoup utilisée dans le monde. Elle présente l'avantage de ne nécessiter la connaissance que d'operations basiques (additions simples et multiplications jusque 9x9).

Elle est plus accessible aux débutants que notre méthode de multiplication avec reports.

On dessine un tableau dans lequel on inscrit les facteurs, l'un en abscisse, l'autre en ordonnée. On divise les carrés par leur diagonales:

Mail0001On inscrit dans chaque case le produit du multiplicande et du multiplicateur qui se trouvent sur une ligne et une colonne.

Soit, pour la première ligne: 5x4, 5x7, 5x2, 5x9. On inscrit le produit de manière à ce que le chiffre des dizaines soit séparé du chiffre des unités par la diagonale.

Ensuite, il suffit d'additionner tous les produits en suivant les diagonales, en reportant si nécessaire à la dizaine suivante. Soit, 5=5, 4+2=6, 5+1+6+7+7= 26 (j'inscris 6, je reporte 2), etc.

Il suffit ensuite de lire le nombre listé pour connaître le résultat de l’opération.



Nous avons tellement l'habitude d'effectuer les multiplications à la manière dont nous l'avons apprise (quand nous ne nous servons pas de calculette) qu'il ne nous vient pas à l'idée que d'autres peuples peuvent les faire d'une manière différente. Et pourtant, nombreux sont ceux, en Orient particulièrement, qui utilisent une méthode distincte de la nôtre, un peu plus compliquée, pour nous qui ne connaissons plus le boulier. Bisn sûr, ce type de procédé n'a rien de musulman, je préfère parler de multiplication orientale.
Le principe en repose sur un carré de n cases horizontales et n verticales, chacune de ces cases étant coupée en deux demi-cases, l'une supérieure, constituée par le triangle rectangle en haut à droite, l'autre inférieure, constituée par le triangle rectangle en bas à gauche :

Le schéma complet, en se restreignant pour l'exemple à la valeur de 3 pour n est le suivant :
Ensemble de cases vierges

Soit à multiplier les deux nombres (en numération à base 10 bien entendu) :
a2 a1 a0, soit (100xa2) + (10xa1) + a0
et b2 b1 b0, soit (100xb2) + (10xb1) + b0. Exemple : 174 x 692.
1. On dispose multiplicande et multiplicateur de la façon suivante :
Exemple

NOTA : Il suffit de compléter par des zéros (ou des blancs) le multiplicande ou le multiplicateur pour inscrire ces deux nombres dans la figure.
2. On considère alors le premier chiffre du multiplicateur (qui est situé verticalement à gauche des cases), soit 1, et on multiplie par ce chiffre 1 chacun des chiffres du multiplicande (qui est situé horizontalement au-dessus des cases), soit 6, et on abaisse le résultat dans la case correspondante (ligne du 1, colonne du 6). On procède de manière analogue pour les autres chiffres du multiplicateur d'où :

Intermédiaire n° 1

3. Puis on considère le deuxième chiffre du multiplicateur, soit en l'occurrence 7. La multiplication de 7 par le premier chiffre du multiplicande, 6, donne 42 : on abaisse le chiffre des unités, 2, à la ligne du 7 et colonne du 6 et le chiffre des dizaines, 4, dans la même case mais en bas à gauche. On procède de même avec les autres chiffres du multiplicande, d'où :

Intermédiaire n° 2

4. Enfin, on considère le troisième chiffre du multiplicateur, soit en l'occurrence 4 et on procède de manière analogue, d'où :

Intermédiaire n° 3

NOTA : Jusqu'ici, cette méthode a l'avantage pédagogique sur la nôtre de faire écrire les multiplications chiffre à chiffre par recopie directe de l'item ad hoc de la table de multiplication.
5. Il ne reste plus qu'à totaliser en diagonale, tout d'abord à l'extrémité droite, en haut, le dernier chiffre, 2, est reporté diagonalement.

Intermédiaire n° 4

Puis on part du chiffre précédant le 2, soit 9, qu'on ajoute au chiffre rencontré sur la diagonale, soit 4, d'où 13 ; on pose le 3 en diagonale comme on a posé le 2 précédemment et on reporte le 1 (report), en haut de la diagonale suivante, qui correspond au chiffre suivant du multiplicande, soit 6, comme indiqué.
On ajoute alors ce report aux chiffres rencontrés sur la diagonale de ce chiffre 6, donc : 1 + 6 + 3 + 1 + 8, soit 19 ; on pose alors le 9 en diagnoale comme le 3 précédent et on reporte le 1 (report), en haut de la diagonale suivante, c'est-à-dire alors, le 2, premier chiffre de la diagonale, comme indiqué.
On ajoute alors ce report aux chiffres rencontrés sur la diagonale de ce chiffre 2, donc : 1 + 2 + 6 + 6, soit 15 ; on pose alors le 5 en diagonale, cette fois-ci en dessous des cases, et on reporte le 1 (report), en haut de la diagonale suivante, c'est-à-dire alors, le 4, premier chiffre de la diagonale, comme indiqué.
On ajoute alors ce report aux chiffres rencontrés sur la diagonale de ce chiffre 4, donc : 1 + 4 + 4 + 3, soit 12 ; on pose alors le 2 en diagonale, encore en dessous des cases, et on reporte le 1 (report), en haut de la diagonale suivante, c'est-à-dire alors, le 2, premier chiffre de la diagonale, comme indiqué.
Ce report, 1, ajouté au chiffre 2, seul chiffre de la diagonale, donne 3, que l'on pose encore en diagonale.
Il ne reste plus qu'à lire le résultat en partant de la gauche : 325, puis en continuant à droite et en remontant : 932, soit 325932.
Résultat

NOTA : Avec un peu d'habitude, on n'a plus besoin d'écrire les reports.
CONCLUSION : C'est à titre de curiosité que nous considérons cette méthode de multiplication car elle n'offre pas d'avantage déterminant par rapport à la nôtre, plus moderne. Il faut dire néanmoins que le boulier donne des résultats étonnants et arrive même parfois à concurrencer la calculette...





« Chaque nombre tire son origine de l’unité, mais celle-ci tire la sienne du zéro » « Sachons qu’il y a dans le zéro un grand mystère sacré. Il est symbolisé par ce qui n’a ni commencement ni fin. Et de même que le zéro ne s’accroît ni se réduit, il ne connaît ni flux ni reflux. Et de même que le zéro décuple tous les nombres, il décuple, centuple, oui je le dit bien, il crée toute chose à partir du néant, les maîtrises et les gouvernes. » Al-Kharezmi

L’étude des mathématiques furent très rependue chez les arabes ils se mirent à traduire les ouvrages grecs tel que la géométrie de Pythagore, la métaphysique d'Aristote et se passionnèrent vite pour ces matières. Au Moyen Age, les Européens ne disposaient que des chiffres romains, pouvaient additionner et soustraire au moyen de jetons, sur des tables de compte. Le problème de cette numération lors d’un calcul complexe était pénible et très lourde. Pour multiplier 123 x 11 ont peut être capable de le faire de tête et de donner le résultat qui est 1353
La même opération avec des chiffres romains donne :

CXXIII x XI
= ( C × C + C × I ) + ( X × X + X × I ) + ( X × X + X × I ) + ( I × X + I × I ) + ( I × X + I × I )
= ( M + C ) + ( C + X ) + ( C + X ) + ( X + I ) + ( X + I ) + ( X + I )
= MCCXCXXIXIXI
= MCCCXXXXXIIII
= MCCCLIII

C’est faisable, mais compliqué.

Les travaux du Persan Mouhammed Ibn Musa al-Kharezmi ( 780 - 840 ) surnommé « le père de l’Algèbre », installé à Bagdad, ont eu un impact fondamental sur notre vie d'aujourd'hui c'est en effet grâce à lui que les savants européens on comprit qu’une pratique de l'arithmétique essentiellement basé sur les chiffres romains ne mènerait à rien. Vers 825, il explique les neuf « chiffres arabes » , dont l’origine est indienne, le zéro, la numération de position ( distinguant les unités, les dizaines, les centaines, etc.) et les quatre opérations de base du calcul écrit.
Al-Kharezmi va prouver aux européens, qu il existe une meilleure façon de faire de l'arithmétique, dans son ouvrage l’art indou de calculer, il développe une idée totalement révolutionnaire, celle qui suffit de 10 symboles pour pouvoir représenter n'importe quel nombre, cette idée de n'utiliser que dix symbole, les chiffres allant de 0 à 9. Tous les nombres de zéro à l'infini a d'abord été développé par des mathématiciens indiens au environ du 6e siècle et amélioré par les arabes et personne ne peut nier que cette découverte fut d'une importance capitale.
Voici la numération indo arabe

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ce qui est révolutionnaire avec ce système numérique c'est la façon dont il va permettre de simplifier les calculs arithmétiques. Ce système de numération à 10 chiffres, beaucoup plus souple et facile que les chiffres romains, il séduira les Occidentaux qui l’adoptèrent grâce à Leonardo Pisano plus connu sous l'équivalent « Léonard de Pise ». Al-Kharezmi et ses confrères ne vont pas seulement se contenter de transposer le système numérique indien en arabe ils vont aussi inventé la virgule décimal et le système décimal mais aussi les fractions c'est à dire le nombre infini de possibilités qui existent entre chaque membre entier. Il utilise pour la première fois la virgule décimale. Aujourd'hui si familier qui les rend difficiles d'imaginer comment nos ancêtres ont pu s'en passer. Sans l’emploi des chiffres arabes, le monde informatisé ainsi que la technologie d’aujourd’hui et bien d’autre domaine auraient un retard considérable.






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MessagePosté le: Jeu 23 Fév - 19:12 (2017)    Sujet du message: Publicité

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